مساحة متوازي المستطيلات

جدول المحتويات

1 مساحة متوازي المستطيلات

تعريف متوازي المستطيلات

مساحة متوازي المستطيلات هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد يتكوّن من ستة وجوه مستطيلة، بحيث تكون كل زاوية فيه قائمة، وكل وجهين متقابلين متساويين في المساحة. يُعرف أيضاً باسم المنشور المستطيل أو المنشور قائم الزاوية، ويُشبه المكعب من حيث البنية، إلا أن أوجهه مستطيلة وليست مربعة، مما يعني أن أطوال أضلاعه تختلف عن بعضها البعض.

قانون حساب مساحة متوازي المستطيلات

لحساب المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات، يتم جمع مساحات جميع وجوهه الستة. وبما أن كل وجهين متقابلين متساويان، فإن القانون الرياضي لحساب المساحة السطحية يُكتب على النحو التالي:

المساحة السطحية=2×(الطول×العرض+الطول×الارتفاع+العرض×الارتفاع)\text{المساحة السطحية} = 2 \times (الطول \times العرض + الطول \times الارتفاع + العرض \times الارتفاع)

وبالرموز:

S=2×(أ⋅ب+أ⋅ج+ب⋅ج)S = 2 \times (أ \cdot ب + أ \cdot ج + ب \cdot ج)

حيث:

أأ: الطول
بب: العرض
جج: الارتفاع

اشتقاق القانون خطوة بخطوة

لفهم القانون بشكل أعمق، يمكن تقسيم وجوه متوازي المستطيلات إلى ثلاث مجموعات:

الوجهان العلوي والسفلي: مساحتهما = 2⋅أ⋅ب2 \cdot أ \cdot ب
الوجهان الأمامي والخلفي: مساحتهما = 2⋅أ⋅ج2 \cdot أ \cdot ج
الوجهان الجانبيان: مساحتهما = 2⋅ب⋅ج2 \cdot ب \cdot ج

بجمع هذه المساحات نحصل على:

إقرأ أيضا:أهمية علم الإحصاء

S=2⋅(أ⋅ب+أ⋅ج+ب⋅ج)S = 2 \cdot (أ \cdot ب + أ \cdot ج + ب \cdot ج)

المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات

المساحة الجانبية هي مجموع مساحات الوجوه الأربعة الجانبية فقط، أي باستثناء الوجهين العلوي والسفلي. ويُحسب ذلك باستخدام القانون:

المساحة الجانبية=2⋅ج⋅(أ+ب)\text{المساحة الجانبية} = 2 \cdot ج \cdot (أ + ب)

أمثلة تطبيقية

مثال 1: إذا كانت أبعاد متوازي المستطيلات هي 8 سم، 6 سم، 5 سم، فإن:

S=2⋅(8⋅6+8⋅5+6⋅5)=236سم2S = 2 \cdot (8 \cdot 6 + 8 \cdot 5 + 6 \cdot 5) = 236 سم²

مثال 2: أبعاده 6 سم، 5 سم، 3 سم:

S=2⋅(6⋅5+6⋅3+5⋅3)=126سم2S = 2 \cdot (6 \cdot 5 + 6 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 126 سم²

مثال 3: إذا كانت المساحة السطحية 1000 سم²، والعرض والارتفاع 10 سم، فإن الطول يُحسب كالتالي:

1000=2⋅(10⋅أ+10⋅أ+10⋅10)⇒أ=20سم1000 = 2 \cdot (10 \cdot أ + 10 \cdot أ + 10 \cdot 10) \Rightarrow أ = 20 سم

مثال 4: أبعاده 5 سم، 3 سم، 4 سم:

المساحة الجانبية=2⋅4⋅(5+3)=64سم2\text{المساحة الجانبية} = 2 \cdot 4 \cdot (5 + 3) = 64 سم²

مثال 5: أبعاده 4.8 سم، 3.4 سم، 7.2 سم:
- المساحة الجانبية = 118.08 سم²
- المساحة السطحية = 150.72 سم²
مثال 6: خزان مياه بأبعاد خارجية 30م، 20م، 15م وسمك الجدران 1م:
- الأبعاد الداخلية = 28م، 18م، 13م
- المساحة السطحية الداخلية = 2,204 م²
مثال 7: قاعة بأبعاد 10م، 9م، 8م وتكلفة الطلاء 8.50 دولار/م²:
- المساحة المطلوب طلاؤها = 394 م²
- التكلفة = 3,349 دولار
مثال 8: ثلاثة مكعبات طول ضلع كل منها 4 سم:
- الأبعاد الناتجة: 4 سم × 12 سم × 4 سم
- المساحة السطحية = 224 سم²
- المساحة الجانبية = 128 سم²