قانون مساحة ومحيط الدائرة

قانون مساحة ومحيط الدائرة

يُمكن تعريف الدائرة (بالإتجليزية: Circle) على أنّها مجموعة من النقاط التي تقع على بُعْد ثابت من نقطة مركزيّة، تُعرف بمركز الدائرة، وتُسمّى المسافة الواصلة بين هذه النقطة إلى أيّة نقطة تقع عليها بنصف القطر (بالإنجليزية: Radius)، ويُرمز له بالرمز (نق)، أمّا قطر الدائرة فهو الوتر الذي يمرّ عبر مركز الدائرة، ويُرمز له بالرمز (ق)، ويعادل طوله ضعف طول نصف القطر: ق= 2×نق، وعند قسمة محيط الدائرة على قطرها ينتج الثابت العددي باي الذي يُرمز له بالرمز (π)، وتساوي قيمته تقريباً: 3.14 أو 22/7.

يُمكن تعريف محيط الدائرة (بالإنجليزية: Circumference) على أنه المسافة الخطيّة المحيطة بحواف دائرة ما، ويرتبط محيط الدائرة مع القطر ونصف القطر عادة حسب العلاقة الآتية:

• محيط الدائرة= π×القطر = 2×π×نصف القطر، وبالرموز: م= π×ق = 2×π×نق.

أمّا مساحة الدائرة (بالإنجليزية: Area) فهي مقدار الفراغ الذي يشغله الجسم الدائري على سطح مستوٍ، ويُمكن التعبير عنها بإحدى العلاقات الرياضية الآتية:

• مساحة الدائرة = π×نصف القطر²، وبالرموز: م = π×نق².
• مساحة الدائرة=(π/4)×القطر²، وبالرموز: م = (π/4)×ق²؛ إذا عُرِف قطر الدائرة.
• مساحة الدائرة=محيط الدائرة² /(4×π)، وبالرموز: م = ح²/(4×π)؛ إذا عُرِف محيط الدائرة.

أمثلة حول مساحة ومحيط الدائرة

• المثال الأول: دائرة نصف قطرها 3 سم، ما هي مساحتها؟
  • الحل: تعويض قيمة نصف القطر والتي تساوي نق=3سم في قانون مساحة الدائرة: مساحة الدائرة = π×نق² = 3.14×(3)² = 28.26سم².

• المثال الثاني: دائرة قطرها 8 سم، ما هي مساحتها؟
  • الحل:
  • تعويض قيمة القطر والتي تساوي: ق=8 سم في قانون مساحة الدائرة: مساحة الدائرة = (π/4)×ق² =(3.14/4)×(8)² = 50.24سم².

• المثال الثالث: دائرة مساحتها 78.5 م²، ما هو نصف قطرها؟
  • الحل: تعويض قيمة المساحة والتي تساوي م = 78.5م² في قانون مساحة الدائرة:
  • مساحة الدائرة = π×نق² = 78.5، وبقسمة الطرفين على π وأخذ الجذر التربيعي لهما ينتج أن نصف القطر نق = 5 م.

• المثال الرابع: مركبة نصف قطر إطارها 24 سم، فما هي المسافة التي تقطعها عند إكمال دورة واحدة؟ (π=22/7).
  • الحل:
  • المسافة المقطوعة عند دوران العجل لمرة واحدة تعادل تماماً محيط العجل، والذي يُمكن إيجاده من خلال تعويض قيمة نصف القطر والتي تساوي نق=24 سم في قانون محيط الدائرة: محيط الدائرة = 2×π×نق = 2×(3.14)×24 = 151 سم.

• المثال الخامس: قطعة بسكويت دائرية الشكل نصف قطرها 4 سم، ما هي مساحة سطحها العلوي؟
  • الحل:
  • تعويض قيمة نصف القطر والتي تساوي نق=4 سم في قانون مساحة الدائرة: م = π×نق² = 3.14×(4)² = 50.24 سم².

• المثال السادس: دائرة نصف قطرها 8 سم، ما هو محيطها؟
  • الحل:
  • تعويض قيمة نصف القطر والتي تساوي نق=8 سم في قانون محيط الدائرة: محيط الدائرة = 2×π×ق = 2×3.14×8 = 50.24سم.

• المثال السابع: دائرة مساحتها 9πم²، ما هو محيطها؟
  • الحل:
  • تعويض قيمة المساحة والتي تساوي م= 9π م² في القانون: مساحة الدائرة = محيط الدائرة² /(4×π)، كما يلي:
  • 9π = محيط الدائرة² /(4×π) وبضرب الطرفين بـ (4π) ثمّ أخذ الجذر التربيعي للناتج ينتج أنّ: محيط الدائرة = 6π سم.

• المثال الثامن: ما هو محيط سطح برج دائري الشكل، إذا كانت المسافة من مركز البرج إلى الخارج 10م؟
  • الحل:
  • تعويض قيمة نصف القطر والتي تساوي نق=10م في قانون محيط الدائرة: محيط الدائرة = 2×π×ق = 2×3.14×10 = 62.8م، وهو محيط السطح الدائري من الخارج.