خصائص الأعداد المركبة
جدول المحتويات
تعريف الأعداد المركبة
الأعداد المركبة (بالإنجليزية: Complex Numbers) هي امتداد لمجموعة الأعداد الحقيقية، وتُستخدم لحل المعادلات التي لا يمكن حلها ضمن نطاق الأعداد الحقيقية فقط، مثل المعادلة:
س2+1=0س^2 + 1 = 0
والتي لا تمتلك حلاً حقيقياً لأن مربع أي عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالبًا. لذلك، تم تعريف الوحدة التخيلية ii بحيث:
i2=−1i^2 = -1
ويُكتب العدد المركب بالصورة:
ك=أ+بiك = أ + بi
حيث:
- أأ: الجزء الحقيقي
- بب: الجزء التخيلي
- ii: الوحدة التخيلية
خصائص الأعداد المركبة
- كل عدد حقيقي هو عدد مركب: يمكن كتابة أي عدد حقيقي حح على الصورة ح+0iح + 0i.
- التساوي: إذا كان أ+بi=ج+دiأ + بi = ج + دi، فإن أ=جأ = ج وب=دب = د.
- الخاصية التبادلية:
- للجمع: ع1+ع2=ع2+ع1ع1 + ع2 = ع2 + ع1
- للضرب: ع1⋅ع2=ع2⋅ع1ع1 \cdot ع2 = ع2 \cdot ع1
- الخاصية التجميعية:
- للجمع: (ع1+ع2)+ع3=ع1+(ع2+ع3)(ع1 + ع2) + ع3 = ع1 + (ع2 + ع3)
- للضرب: (ع1⋅ع2)⋅ع3=ع1⋅(ع2⋅ع3)(ع1 \cdot ع2) \cdot ع3 = ع1 \cdot (ع2 \cdot ع3)
- خاصية التوزيع:
ع1⋅(ع2+ع3)=ع1⋅ع2+ع1⋅ع3ع1 \cdot (ع2 + ع3) = ع1 \cdot ع2 + ع1 \cdot ع3
- مجموع عدد مركب ومرافقه هو عدد حقيقي:
(أ+بi)+(أ−بi)=2أ(أ + بi) + (أ – بi) = 2أ
- ناتج ضرب عدد مركب بمرافقه هو عدد حقيقي:
(أ+بi)(أ−بi)=أ2+ب2(أ + بi)(أ – بi) = أ^2 + ب^2
- إذا كان مجموع وضرب عددين مركبين عددًا حقيقيًا، فهما مرافقان لبعضهما.
- القيمة المطلقة:
∣ع1+ع2∣≤∣ع1∣+∣ع2∣|ع1 + ع2| \leq |ع1| + |ع2|
- العمليات الحسابية:
- الجمع والطرح والضرب لأي عددين مركبين يعطي عددًا مركبًا.
- جمع الصفر لا يغيّر العدد المركب.
- جمع عدد مركب ومعكوسه يعطي صفرًا.
- ضرب العدد المركب بـ 1 لا يغيّره.
- ضرب العدد المركب بمقلوبه يعطي 1.
العمليات الحسابية على الأعداد المركبة
- الجمع:
(أ+بi)+(ج+دi)=(أ+ج)+(ب+د)i(أ + بi) + (ج + دi) = (أ + ج) + (ب + د)i
- الضرب:
(أ+بi)(ج+دi)=(أج−بد)+(أد+بج)i(أ + بi)(ج + دi) = (أج – ب د) + (أ د + ب ج)i
- المرافق:
مرافق(أ+بi)=(أ−بi)مرافق (أ + بi) = (أ – بi)
- القسمة:
زو=ز⋅و‾∣و∣2\frac{ز}{و} = \frac{ز \cdot \overline{و}}{|و|^2}
أمثلة تطبيقية
- مثال 1: إذا كان ع=2س+4iصع = 2س + 4iص، ول=−i3س−ص+3ل = -i^3س – ص + 3، بمساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية، نجد:
س=43,ص=13س = \frac{4}{3}, \quad ص = \frac{1}{3}
- مثال 2: إذا كان (3−4i)(س+صi)=i(3 – 4i)(س + صi) = i، بحل المعادلات الناتجة، نجد:
س=325,ص=425س = \frac{3}{25}, \quad ص = \frac{4}{25}
- مثال 3:
1+ii−1=i\frac{1 + i}{i – 1} = i
خلاصة المقال
الأعداد المركبة تُعدّ حجر الأساس في العديد من التطبيقات الرياضية والهندسية، وتتميز بخصائص جبرية قوية تجعلها أداة فعالة في حل المعادلات المعقدة.
إقرأ أيضا:معلومات عن الرياضيات
