خصائص الأعداد المركبة

تُعد الأعداد المركبة امتدادًا للأعداد الحقيقية، وتُستخدم لحل المعادلات التي لا تمتلك حلولًا حقيقية، مثل المعادلة س² + 1 = 0. ويُكتب العدد المركب بالصورة:

ع = أ + بi

حيث:

• أ: الجزء الحقيقي.
• ب: الجزء التخيلي.
• i: الوحدة التخيلية، بحيث i² = -1.

خصائص الأعداد المركبة

من أهم خصائص الأعداد المركبة:

• كل عدد حقيقي يمكن اعتباره عددًا مركبًا بصيغة أ + 0i.
• يتساوى عددان مركبان إذا تساوى الجزآن الحقيقي والتخيلي.
• تحقق عمليتا الجمع والضرب الخاصيتين التبادلية والتجميعية.
• يتحقق قانون التوزيع في الضرب على الجمع.
• مجموع العدد المركب ومرافقه يساوي 2أ وهو عدد حقيقي.
• حاصل ضرب العدد المركب في مرافقه يساوي أ² + ب² وهو عدد حقيقي.
• جمع أو طرح أو ضرب عددين مركبين يعطي عددًا مركبًا.
• ضرب العدد المركب في 1 لا يغيره، بينما ضربه في مقلوبه يعطي 1.

العمليات الحسابية

الجمع:

(أ + بi) + (ج + دi) = (أ + ج) + (ب + د)i

الضرب:

(أ + بi)(ج + دi) = (أج − بد) + (أد + بج)i

المرافق:

مرافق (أ + بi) = أ − بi

القسمة:

تتم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام للتخلص من الجزء التخيلي.

أمثلة

• إذا كان ع = 2 + 3i فإن مرافقه هو 2 − 3i.
• حاصل ضرب (2 + 3i)(2 − 3i) = 13.
• ناتج (3 − 4i)(1 + i) = 7 − i.

خلاصة المقال

تُستخدم الأعداد المركبة في الرياضيات والفيزياء والهندسة والإلكترونيات، وتتميز بخصائص جبرية تجعلها أداة مهمة في حل المعادلات والمسائل التي لا يمكن التعامل معها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.